Question

16．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（　　）

• A． 7.5
• B． 7
• C． 8.5
• D． 8

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：y=k（x-2），与抛物线方程联立化为：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，由|AF|=3|FB|，可得x_A+2=3（x_B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．

解答 解：设直线AB的方程为：y=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x_A+x_B=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x_Ax_B=4．
∵|AF|=3|FB|，
∴x_A+2=3（x_B+2），
联立解得：k=$±\sqrt{3}$．
∴P$（-2，±4\sqrt{3}）$．
∴|PF|=$\sqrt{{4}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=8．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．