Question

若函数f（x）=ax+b（a≠0），且

∫

1 0

f（x）dx=1，求证：

∫

1 0

[f（x）]²dx＞1．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：由f（x）=ax+b（a≠0），且

∫

1 0

f（x）dx=1可得b=1-

1

2

a，再由

∫

1 0

[f（x）]²dx=

∫

1 0

(ax+b)2dx可得

∫

1 0

[f（x）]²dx=

a2

12

+1＞1，故答案成立．

解答： 证明：∵f（x）=ax+b（a≠0），且

∫

1 0

f（x）dx=1，
∴

∫

1 0

(ax+b)dx=1，即(

1

2

ax2+bx)

|

1 0

=

1

2

a+b=1，
∴b=1-

1

2

a．
则

∫

1 0

[f（x）]²dx=

∫

1 0

(ax+b)2dx

=∫

1 0

(a2x2+2abx+b2)dx
=(

1

3

a2x3+abx2+b2x)

|

1 0

=

1

3

a2+ab+b2
=

1

3

a2+a(1-

1

2

a)+(1-

1

2

a)2
=

a2

12

+1＞1．
故答案成立．

点评：本题考查了定积分，考查了导数的综合应用，训练了利用配方法求二次函数的值域，是中档题．