Question

已知函数f（x）=tan（-2x-

π

3

）．
（1）求函数定义域、最小正周期、单调区间、对称中心；
（2）若f（x）＞1，求x的取值集合．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由-2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，可求得其定义域，利用正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心；
（2）依题意，利用正切函数的单调性可得kπ-

π

2

＜2x+

π

3

＜kπ-

π

4

，k∈Z；从而可求得x的取值集合．

解答： 解：（1）由-2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，得：x≠-

kπ

2

-

5π

12

，k∈Z．
所以，其定义域为{x|x≠-

kπ

2

-

5π

12

，k∈Z}；
由f（x）=tan（-2x-

π

3

）=-tan（2x+

π

3

）得：其最小正周期T=

π

2

；
由kπ-

π

2

＜2x+

π

3

＜kπ+

π

2

，得：

kπ

2

-

5π

12

＜x＜

kπ

2

+

π

12

，k∈Z．
所以，函数f（x）=tan（-2x-

π

3

）的单调递减区间为（

kπ

2

-

5π

12

，

kπ

2

+

π

12

），k∈Z．
由2x+

π

3

=

kπ

2

得：x=

kπ

4

-

π

6

，k∈Z．
所以y=f（x）的对称中心为（

kπ

4

-

π

6

，0），k∈Z；
（2）由tan（-2x-

π

3

）＞1得：tan（2x+

π

3

）＜-1，
故kπ-

π

2

＜2x+

π

3

＜kπ-

π

4

，k∈Z；
即

kπ

2

-

5π

12

＜x＜

kπ

2

-

7π

24

，k∈Z．
所以，x的取值集合为{x|

kπ

2

-

5π

12

＜x＜

kπ

2

-

7π

24

}．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，着重考查正切函数的定义域、周期性、单调性、对称性的综合应用，属于中档题．