Question

等差数列{a_n}中的a₁，a₄₀₂₇是函数f（x）=x³-2x²-x+1的两个极值点，则函数y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）是周期为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：求出函数的导数，利用极值点以及等差数列的性质求出a₂₀₁₄的值，然后通过函数的周期求解即可．

解答： 解：函数f（x）=x³-2x²-x+1，导数f′（x）=3x²-4x-1，
∵a₁，a₄₀₂₇是函数f（x）=x³-2x²-x+1的两个极值点，
∴a₁，a₄₀₂₇是3x²-4x-1=0的两个实数根，
则

4

3

=a₁+a₄₀₂₇=2a₂₀₁₄，∴a₂₀₁₄=

2

3

，
函数y=sin（a₂₀₁₄x+

π

6

）=sin（

2

3

x+

π

6

），
所以函数的周期为：T=

2π

2 3

=3π．
故答案为：3π．

点评：本题考查函数的极值的求法，等差数列的应用，三角函数的周期的求法，是难度不大的综合题目．