Question

函数f（x）=x+sin2x（-

π

2

≤x≤π）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据导数求出函数的最值，继而得到函数的值域．

解答： 解：∵f（x）=x+sin2x（-

π

2

≤x≤π），
∴f′（x）=1+2cos2x，
画出导函数的图象，如图所示

当f′（x）=1+2cos2x=0，解得cos2x=-

1

2

，即x=-

π

3

，或x=

π

3

，或x=

2π

3

，
当f′（x）＞0时，即cos2x＞-

1

2

，即-

π

3

＜x＜

π

3

，或

2π

3

＜x≤π，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即cos2x＜-

1

2

，即-

π

2

≤x＜-

π

3

或

π

3

＜x＜

2π

3

，函数单调递减，
故当x=-

π

3

，和x=

2π

3

取的极小值，当x=

π

3

时，取的极大值，
∴f（-

π

3

）=-

π

3

-

3

2

，f（

2π

3

）=

2π

3

-

3

2

，f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

3

）=

π

3

+

3

2

，f（π）=π，
∴函数f（x）的最小值为：-

π

3

-

3

2

，最大值为π，
故函数的值域为[-

π

3

-

3

2

，π]
故答案为：[-

π

3

-

3

2

，π]

点评：本题考查了利用导数求函数的值域的方法，属于中档题