Question

2．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到函数g（x）的图象，若函数$h（x）=ax+\frac{1}{2}g（2x）-g（x）$在（-∞，+∞）单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，可得h（x）的解析式，再根据h′（x）≥0恒成立，求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）根据函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分图象，
可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{ω}$，∴ω=1．
再根据五点法作图可得1•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到函数g（x）=sin（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=sinx的图象
函数$h（x）=ax+\frac{1}{2}g（2x）-g（x）$=ax+$\frac{1}{2}$sin2x-sinx 在（-∞，+∞）单调递增，
∴h′（x）=a+cos2x-cosx=2cos²x-cosx-1+a=2${（cosx-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$+a≥0恒成立，
∴-$\frac{9}{8}$+a≥0恒成立，即a≥$\frac{9}{8}$恒成立，故a的范围为[$\frac{9}{8}$，+∞）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．