Question

17．成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：
南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸^①，头圈一尺三^②．
逐节多三分^③，逐圈少分三^④．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？
此民谣提出的问题的答案是（　　）
（注：①五寸即0.5尺．②一尺三即1.3尺．③三分即0.03尺．④分三即一分三厘，等于0.013尺．）

• A． 72.705尺
• B． 61.395尺
• C． 61.905尺
• D． 73.995尺

Answer 1

分析 设从地面往长，每节竹长为a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，则{a_n}是以a₁=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，设从地面往上，每节节圈长为b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，则{b_n}是以b₁=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，由此能求出一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶的行程．

解答 解：∵每竹节间的长相差0.03尺，
设从地面往长，每节竹长为a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，
∴{a_n}是以a₁=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，
设从地面往上，每节节圈长为b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，
由{b_n}是以b₁=1.3为首项，d=-0.013为公差的等差数列，
∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：
S₃₀=$（30×0.5+\frac{30×29}{2}×0.03）$+[30×1.3+$\frac{30×29}{2}×（-0.013）$]=61.395．
故选：B．

点评 本题考查等差数列有生产、生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．