Question

11．已知数列${a_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$（n∈N^*）．
（1）证明：当n≥2，n∈N^*时，${a_{2^n}}＞\frac{n+2}{2}$；
（2）若a＞1，对于任意n≥2，不等式${a_{2n}}-{a_n}＞\frac{7}{12}[{log_{（a+1）}}x-{log_a}x+1]$恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法的证明步骤，证明求解即可．
（2）构造函数f（n）=a_2n-a_n，判断函数的单调性，转化不等式为，对数不等式，通过函数的性质，转化求解即可．

解答 （1）证：①当n=2时，左边=${a_4}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$，
右边=$\frac{4}{2}=2$，左边＞右边，命题成立；
②假设n=k时命题成立，即：${a_{2^k}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}＞\frac{k+2}{2}$；
那么n=k+1时，${a_{{2^{k+1}}}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{1}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$$＞\frac{k+2}{2}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{1}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$$＞\frac{k+2}{2}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$=$\frac{k+2}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{（k+1）+2}{2}$
∴n=k+1时命题成立，
∴对于n≥2，n∈N^*命题都成立．
（2）令f（n）=a_2n-a_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n+2}$-（$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$＞0，即f（n）单调递增，
∴a_2n-a_n≥f（2）=$\frac{7}{12}$，
故问题转化为：$\frac{7}{12}$＞$\frac{7}{12}$（log_a+1x-log_ax+1）恒成立，
可得log_a+1x＜log_ax，即：lgx（lg（a+1）-lga）＞0，可得x＞1．

点评 本题考查是数学归纳法的应用，数列的函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．