Question

在n个人的班级中，选出m个人参加大扫除，其中k个人擦窗户，其他人拖地板．现有两种方法选择人选：①先从班级中选出m人，现从他们当中选出k个人擦窗户．②先从班级中选出k个人擦窗户，再从班级剩下的人中选出m-k人拖地板．
（1）写出每种方法中选人方案数的数学表达式．
（2）你认为这两种方法选人的方案数相等吗？若相等，试证明之；若不相等请说明理由．

Answer 1

考点：排列、组合的实际应用

专题：计算题,排列组合

分析：（1）根据题意，运用分步计数原理分别求出两种方法的选人方案数即可；
（2）要证明

C

m n

C

k m

=

C

k n

C

m-k n-k

，运用组合数公式可以将左边变形可得左边=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

，同理右边也可变形为

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

，即可证明两种方法选人的方案数相等．

解答： 解（1）对于第一种方法：先从班级中选出m人，有

C

m n

种方法，再从这m人中选出k个人擦窗户，有

C

k m

种方法，则第一种方法的选人方案数为

C

m n

C

k m

；
对于第二种方法：先从班级中选出k个人擦窗户，有

C

k n

种方法，再从班级剩下的人中选出m-k人拖地板，有

C

m-k n-k

种方法，则第二种方法选人方案数为

C

k n

C

m-k n-k

；
故第一种方法的选人方案数为

C

m n

C

k m

；第二种方法选人方案数为

C

k n

C

m-k n-k

；
（2）这两种方法的选人方案数相等，即

C

m n

C

k m

=

C

k n

C

m-k n-k

；
证明如下：
左边=

n!

m!(n-m)!

×

m!

k!(m-k)!

=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

；
右边=

n!

k!(n-k)!

×

(n-k)!

(m-k)!(n-m)!

=

n!

k!×(n-m)!×(m-k)!

；
左边=右边；
即两种方法选人的方案数相等．

点评：本题考查组合数的应用，解题的关键是正确理解组合的意义以及运用组合数公式．