Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2

2

，∠BAD=∠CDA=45°．
（1）求证：CD⊥面ABF；
（2）试在棱DE上找一点P使得二面角B-AP-D的正切值为

5

，并证明之．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过点B作BG∥CD，交AD于点G，可证CD⊥AB，CD⊥FA，利用线面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABF；
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H过点H作HO⊥AP，垂足为O，连结BO，可证得∠BOH即为二面角B-AP-D的平面角，设PD=t，由二面角B-AP-D的正切值为

5

，构造关于t的方程，解方程可得答案．

解答： 证明：（1）过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA=∠CDA=45°，

由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB，
又FA⊥平面ABCD，
∴CD⊥FA，
∵FA∩AB=A，
∴CD⊥平面ABF．…（6分）
（2）过点B作BH⊥AD，垂足为H过点H作HO⊥AP，垂足为O，连结BO

∵FA⊥面ABCD，FA?平面FADE，
∴平面FADE⊥面ABCD，
又∵BH⊥AD，平面FADE∩面ABCD=AD，BH?面ABCD=AD，
∴BH⊥平面FADE，
又∵AP?平面FADE，
∴BH⊥AP，
又∵HO⊥AP，BH∩HO=H，BH，HO?平面OBH，
∴AP⊥平面OBH，
又∵OB?平面OBH，
∴AP⊥OB，
∴∠BOH即为二面角B-AP-D的平面角，…（10分）
求得BH=AH=

2

2

，即点H为AD的四等分点
设PD=t（0＜t＜2

2

），易求得OH=

2 t

2 8+t2

∴tan∠BOH=

BH

GH

=

8 t2 +1

=

5

解得t=

2

，
即当点P为DE的中点时，二面角B-AP-D的正切值为

5

…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．