Question

如图，直线l⊥x轴，从原点开始向右平行移动到x=8处停止，它扫过△AOB所得图形的面积为S，它与x轴的交点为（x，0）．
（1）求函数S=f（x）的解析式；
（2）求函数S=f（x）的定义域、值域；
（3）作函数S=f（x）的图象．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据x的取值情况进行讨论，然后，写成分段函数的形式；
（2）根据（1），借助于函数的单调性求解值域问题；
（3）结合分段函数的特点，按段作出它们的图象．

解答： 解：（1）当0≤x≤4时，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
当4＜x≤8时，
s=f（x）=S_△OAB-

1

2

(8-x)2
=

1

2

×8×4-

1

2

(8-x)2
=16-

1

2

(x-8)2，
所以函数的解析式为：
s=f(x)=

1 2 x2    ， x∈[0，4] 16- 1 2 (x-8)2  ， x∈(4，8]

．
（2）根据（1），得到函数的定义域为[0，8]，
当0≤x≤4时，
s=f（x）=

1

2

x•x=

1

2

x2，
在[0，4]上为增函数，
所以，s∈[0，8]；
当4＜x≤8时，
s=f（x）=16-

1

2

(x-8)2，
在（4，8]为增函数，
∴s∈（8，16]，
综上，函数的值域为[0，16]．
（3）函数图象如下图所示：

点评：本题重点考查分段函数的简单应用，函数的单调性及其运用等知识，属于中档题，考查分类讨论思想．