Question

已知数列{a_n}满足，a₁=1，a₂=2，a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*．令b_n=a_n+1-a_n，则

bn+1

bn

=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，代入b_n+1=a_n+2-a_n+1中整理得到

bn+1

bn

=-

1

2

，n∈N^*且n≥2，
再由已知求出b₁，b₂，验证后得到最后结论．

解答： 解：由a_n+2=

an+an+1

2

，n∈N^*，
得an+1=

an-1+an

2

，n∈N^*且n≥2，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=

an+an+1

2

-an+1  
=-

1

2

(an+1-an)=-

1

2

bn，n∈N^*且n≥2，
∴

bn+1

bn

=-

1

2

，n∈N^*且n≥2，
又b₁=a₂-a₁=2-1=1，
a3=

a1+a2

2

=

1+2

2

=

3

2

，
b2=a3-a2=

3

2

-2=-

1

2

，
∴

b2

b1

=-

1

2

．
综上，

bn+1

bn

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查数列递推式，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，解答的关键在于b_n与a_n的相互转换，是中档题．