Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：MB⊥平面PAD；
（2）求点A到平面PMB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出PD⊥MB，MB⊥AD．由此能证明MB⊥平面PAD．
（2）过点D作DH⊥PM于H，由已知条件推导出DH是点D到平面PMB的距离．由此能求出点A到平面PMB的距离．

解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB，
又∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
∴MB⊥AD．又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．
（2）解：∵M是AD中点，∴点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，
∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．
∴DH是点D到平面PMB的距离．
∵DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴点A到平面PMB的距离为

5

5

a．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．