Question

已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；  
（Ⅱ）若|f（x）-2f（

x

2

）|≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式的解集，讨论绝对值不等式中变量a，即可求a的值；  
（Ⅱ）推出f（x）-2f（

x

2

）的表达式，利用函数恒成立，直接求k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3，得-4≤ax≤2，
又f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，-

4

a

≤x≤

2

a

，
得a=2．
（Ⅱ）记h（x）=f（x）-2f（

x

2

），
则h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

，
∴|h（x）|≤1
因此k≥1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．