Question

已知函数f（x）=lnx+2^x，若f（x²-4）＜2，则实数x的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：不等式即 ln（x²-4）+2x2-4＜2，令t=x²-4＞0，不等式即lnt+2^t＜2 ①．令h（t）=lnt+2^t，由函数h（t）的单调性可得x²-4＜1，从而求得x的范围．
解法二：根据函数f（x）=lnx+2^x在定义域（0，+∞）上式增函数，f（1）=2，由不等式可得x²-4＜1，从而求得x的范围．

解答： 解：解法 一：∵函数f（x）=lnx+2^x，∴f（x²-4）=ln（x²-4）+2x2-4，
∴不等式即 ln（x²-4）+2x2-4＜2．
令t=x²-4＞0，不等式即lnt+2^t＜2 ①．
令h（t）=lnt+2^t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，
∴由不等式①可得t＜1，即 x²-4＜1，即x²＜5．
由

x2-4＞0 x2＜5

解得-

5

＜x＜-2，或2＜x＜

5

，
故答案为：（-

5

，-2）∪（2，

5

）．
解法二：由于函数f（x）=lnx+2^x，∴f（1）=2，
再根据函数f（x）=lnx+2^x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x²-4）＜2可得x²-4＜1，
求得-

5

＜x＜-2，或2＜x＜

5

，
故答案为：（-

5

，-2）∪（2，

5

）．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．