Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,向量法,空间位置关系与距离

分析：（1）结合已知由直线和平面垂直的判定定理可证PC⊥平面ADF，即得所求；
（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．

解答： （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，
即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在直角△PDC中，CD=1，∠DPC=30°
则PC=2，PD=

3

，由（1）知，CF⊥DF，
则DF=

3

2

，AF=

AD2+DF2

=

7

2

，
即有CF=

AC2-AF2

=

1

2

，又EF∥CD，
则

PE

PD

=

CF

PC

=

1

4

，则有DE=

3

4

，
同理可得EF=

3

4

CD=

3

4

，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（

3

4

，0，0），F（

3

4

，

3

4

，0），P（

3

，0，0），C（0，1，0），
设

m

=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则

m

⊥

AE

，

m

⊥

EF

，
则有

m • AE = 3 4 x-z=0 m • EF = 3 4 y=0

，令x=4可得z=

3

，则

m

=（4，0，

3

），
设平面ACF的一个法向量为

n

=（k，l，r），则

n

⊥

AC

，

n

⊥

AF

，
则有

n • AC =l-r=0 n • AF = 3 4 k+ 3 4 l-r=0

，令l=4，可得r=4，k=

4 3

3

，则

n

=（

4 3

3

，4，4），
设二面角C-AF-E的平面角为θ，则θ为钝角，
则cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

m • n

| m |•| n |

|=-

133

19

．

点评：本题考查空间直线与平面垂直的性质和判定，考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题．