Question

设f（x）=

x

a(x+2)

，方程f（x）=x有唯一解，数列{x_n}满足f（x₁）=1，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：利用方程的唯一解求出a的值，得到函数的解析式，利用数列与函数的关系，写出数列的递推关系式，判断数列是等差数列，然后求出新数列的通项公式，即可得到结果．

解答： 解：由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴当且仅当a=

1

2

时，f（x）=x有唯一解x=0，∴f（x）=

2x

x+2

…（6分）
当f （x₁）=1得x₁=2，由x_n+1=f（x_n）=

2xn

xn+2

，得

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

，
∴数列

1

xn

是首项为

1

x1

=

1

2

，公差为

1

2

的等差数列
∴

1

xn

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
故xn=

2

n

…（13分）

点评：本题考查数列与函数相结合，数列的递推关系式的应用，等差数列的判断，考查计算能力．