Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|=

3

2

|F₁F₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F₁，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意设椭圆右焦点F₂的坐标为（c，0），结合|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得a²+b²=3c²，再结合隐含条件
b²=a²-c²得到a，c的关系式，则椭圆的离心率可求；
（2）由题意设出椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1．设P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），求得

F1P

，

F1B

的坐标，利用

F1P

•

F1B

=0得到（x₀+c）c+y₀c=0，从而得到x₀+y₀+c=0．再由点P在椭圆上，得到

x02

2c2

+

y02

c2

=1．两式联立得到3x²₀+4cx₀=0．根据点P不是椭圆的顶点得到x₀=-

4

3

c．进一步得到y₀=

c

3

，
再设圆的圆心为T（x₁，y₁），则x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

c 3 +c

2

=

2

3

c，求出圆的半径r再由直线l与圆相切列式求得k的值．

解答： 解：（1）设椭圆右焦点F₂的坐标为（c，0）．
由|AB|=

3

2

|F₁F₂|，可得a²+b²=3c²．
又b²=a²-c²，则2a²=4c²，

c2

a2

=

1

2

，
∴椭圆的离心率e=

2

2

；
（2）由（1）知a²=2c²，b²=c²．故椭圆方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1．
设P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），
得

F1P

=（x₀+c，y₀），

F1B

=（c，c）．
由已知，有

F1P

•

F1B

=0，即（x₀+c）c+y₀c=0．
又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又∵点P在椭圆上，
∴

x02

2c2

+

y02

c2

=1．②
由①和②可得3x²₀+4cx₀=0．
而点P不是椭圆的顶点，故x₀=-

4

3

c．代入①得y₀=

c

3

，
即点P的坐标为（-

4c

3

，

c

3

）．
设圆的圆心为T（x₁，y₁），则x₁=

- 4 3 c+0

2

=-

2

3

c，y₁=

c 3 +c

2

=

2

3

c，
进而圆的半径r=

(x1-0)2+(y1-c)2

=

(- 2 3 c)2+( 2 3 c-c)2

=

5

3

c．
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx．
由l与圆相切，可得

|kx1-y1|

k2+1

=r，即

|k(- 2 3 c)- 2 3 c|

k2+1

=

5

3

c，整理得k²-8k+1=0，解得k=4±

15

，
∴直线l的斜率为4+

15

或4-

15

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查了向量在解题中的应用，圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理能力和逻辑思维能力，是压轴题．