Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由直线方程和双曲线方程联立，化为关于x的一元二次方程，得到A，B两点的横坐标的和与积，再由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0，代入根与系数故选得答案．

解答： 解：将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得
3x²-（ax+1）²=1，整理，
（a²-3）x²+2ax+2=0．
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x1+x2=-

2a

a2-3

，x1x2=

2

a2-3

，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0
即(a2+1)•

2

a2-3

+a•(-

2a

a2-3

)+1=0．
解得：a=±1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，此题是中档题．