Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=1，3a₁是 a₃，a₅的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a₃+a₅=6a₁，解得q，即可得出结论；
（2）利用裂项法求和，由（1）得b_n=log₂a_n=

n-1

2

，

1

bn

=

2

n-1

（n≥2）.

1

bnbn+1

=

4

(n-1)n

=4（

1

n-1

-

1

n

），即可求得结论．

解答： 解：（1）∵a₁=1，3a₁是 a₃，a₅的等差中项．
∴a₃+a₅=6a₁，
即q²+q⁴=6，解得q²=2，q=

2

，
∴a_n=1•(

2

)n-1=2

n-1

2

．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=

n-1

2

，

1

bn

=

2

n-1

（n≥2）．
∴

1

bnbn+1

=

4

(n-1)n

=4（

1

n-1

-

1

n

），
∴T_n=4（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=4（1-

1

n

）=

4(n-1)

n

．

点评：本题主要考查等差数列的性质及裂项法求数列的和等知识，考查学生的运算求解能力，属于中档题．