Question

设函数f（x）=x²+c，g（x）=ae^x的图象的一个公共点为（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同切线，函数f（x）-g（x）的负零点在区间（k，2k+1），k∈Z，则k=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：由题意知f′（2）=g′（2），即4=ae²①，f（2）=g（2），即4+c=ae²②，联立①②可求a，c，从而得f（x）-g（x），利用导数可判断函数在（-∞，0）上的单调性，由零点判定定理可知零点的存在的区间，由此可求k．

解答： 解：f′（x）=2x，g′（x）=ae^x，
∵曲线y=f（x），y=g（x）在P（2，t）点处有相同的切线，
∴f′（2）=g′（2），即4=ae²，①
又P为两曲线的公共点，
∴f（2）=g（2），即4+c=ae²，②
由①②解得c=0，a=

4

e2

，
令h（x）=f（x）-g（x）=x²-

4

e2

•e^x=x²-4e^x-2，
则h′（x）=2x-4e^x-2，
当x≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（-∞，0）上递减，
又h（-1）=1-4e^-3＞0，h（0）=-4e^-2＜0，
∴h（x）在（-1，0）内有唯一零点，
由题意知（k，k+1）=（-1，0），
∴k=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查函数的零点判定定理．曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．