Question

已知数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13．数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求数列{a_n}及数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}中的最大项．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的性质得到a₁=1，d=4，由此能求出a_n=4n-3；由已知条件推导出{b_n}是首项为

3

2

，公比为

1

2

的等比数列，由此能求出b_n=3•(

1

2

)n，
（2）由c_n=（12n-9）•(

1

2

)n，得

cn+1

cn

=

4n+1

8n-6

，当n=1时，c_n+1＞c_n，当n≥2时，c_n+1＜c_n．由此能求出数列{c_n}中的最大项．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，满足a₂=5，a₄=13，
∴

a1+d=5 a1+3d=13

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
∵数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+b_n=3，
∴n=1时，2b₁=3，解得b₁=

3

2

，
n≥2时，T_n+b_n=3，T_n-1+b_n-1=3，
∴2b_n-b_n-1=0，
∴{b_n}是首项为

3

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1=3•(

1

2

)n，
（2）∵c_n=a_n•b_n，
∴c_n=（12n-9）•(

1

2

)n，
∴C_n+1=（12n+3）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

cn+1

cn

=

4n+1

8n-6

，
令

4n+1

8n-6

≥1，解得n≤

7

4

，
故当n=1时，c_n+1＞c_n，
当n≥2时，c_n+1＜c_n．
∴数列{c_n}中的最大项为c₂=（24-9）•

1

4

=

15

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列中最大项的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．