Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x+

11

2

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₁=5，{b_n}前10项和为185．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列的前n和为T_n，求证：T_n≥

1

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，从而得到an=n+5，n∈N*．b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，n∈N^*，由此能求出bn=3n+2，n∈N*．
（Ⅱ）c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，从而T_n=

n

2n+1

，由此能证明T_n≥

1

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x+

11

2

上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

1

2

n2+

11

2

n)-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5，
当n=1时，a₁=S₁=6，n+5=6，
∴an=n+5，n∈N*．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，n∈N^*，
∴{b_n}为等差数列，
∵b₁=5，∴10×5+

10×9

2

d=185，解得d=3，
∴b_n=b₁+3（n-1）=3n+2，
∴bn=3n+2，n∈N*．
（2）证明：c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∵T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0，
∴T_n单调递增，故（T_n）_min=

1

3

，
∴T_n≥

1

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．