Question

设函数f（x）=|x²-2x-1|，若a，b＞1，且f（a）=f（b），则ab-a-b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）是一个对称轴为 x=1 抛物线，然后把 x轴下方的图形关于x轴翻折上去，设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂，那么必然有-1＜a＜x₁＜b＜3，可求出b-a的范围，而ab-a-b=ab-

a2+b2-2

2

=

2-(a-b)2

2

，即可求出所求．

解答： 解：f（x）=|x²-2x-1|=|（x-1）²-2|，
如图示：
，



设这个图形与x轴交点分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=1时取得，f（1）=2，
解方程 f（x）=|x²-2x-1|=2，可以算出x=3或者-1，
那么必然有-1＜a＜x₁＜b＜3，
若1＜a＜b，且f（a）=f（b），此时a²-2a-1＜0，b²-2b-1＞0，
那么有a²-2a-1=-（b²-2b-1）
解得：a+b=

a2+b2-2

2

，
ab-a-b=ab-

a2+b2-2

2

=

2-(a-b)2

2

，
判断b-a的取值范围，显然，0＜b-a＜（-1）-（-3）=2，
那么：0＜（b-a）²＜4，
于是：-1＜

2-(a-b)2

2

＜1，
即：-1＜ab-a-b＜1．
故答案为：（-1，1）．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，讨论的数学思想，属于中档题．