Question

在EF∥AB中，AD=2AE=2AB=4FC=4的对边分别是EFCD，已知

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC．
（1）求sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=

2 3

3

，求边c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）化简可得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，由于△ABC中，sinA＞0，∴3cosA=1，即可求出sinA的值；
（2）若a=1，cosB+cosC=

2 3

3

，先求出sinC的值，由正弦定理即可求出边c的值．

解答： 解：（1）由

3

2

sin2A=sinCcosB+sinBcosC得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
由于△ABC中，sinA＞0，∴3cosA=1，cosA=

1

3

∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

．
（2）由cosB+cosC=

2 3

3

得-cos(A+C)+cosC=

2 3

3

即sinAsinC-cosAcosC+cosC=

2 3

3

，
∴

2 2

3

sinC+

2

3

cosC=

2 3

3

得

2

sinC+cosC=

3

，cosC=

3

-

2

sinC，
平方得sinC=

6

3

．
由正弦定理得理得c=

asinC

sinA

=

3

2

．

点评：本题主要考察正弦定理、三角函数中的恒等变化应用，属于中档题．