Question

6．已知椭圆$E：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率之积；
（Ⅱ）过点Q（-1，0）作与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在以MN为直径的圆经过点A，若存在，请求出直线MN．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知椭圆方程可得A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线PA与PB的斜率之积，结合P在椭圆上可得答案；
（Ⅱ）设出MN所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合平面向量数量积不为0，说明不存在以MN为直径的圆经过点A．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆方程可知A（-2，0），B（2，0），
设P（x₀，y₀），则${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=\frac{{1-\frac{x_0^2}{4}}}{x_0^2-4}=-\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）不存在以MN为直径的圆经过点A．
事实上，设直线MN方程为：x=ty-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}x=ty-1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{{t^2}+4}）{y^2}-2ty-3=0$，
设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{{{t^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{t^2}+4}}$，
若存在以MN为直径的圆经过点A，
则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{{x_1}+2，{y_1}}）•（{{x_2}+2，{y_2}}）$
=$（{{x_1}+2}）•（{{x_2}+2}）+{y_1}{y_2}=（{t{y_1}+1}）•（{t{y_2}+1}）+{y_1}{y_2}=（{{t^2}+1}）{y_1}{y_2}+t（{{y_1}+{y_2}}）+1$
=$\frac{{-3（{{t^2}+1}）}}{{{t^2}+4}}+\frac{{2{t^2}}}{{{t^2}+4}}+1=\frac{1}{{{t^2}+4}}=0$，
该方程无解，∴不存在以MN为直径的圆经过点A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．