Question

已知函数y=f（x）定义域为（-π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，当x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（log₃

1

9

），则a，b，c的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可知函数为偶函数，把给出的函数解析式求导后求出f（

π

2

）的值，代入导函数解析式判断导函数的符号，得到原函数的单调性，由单调性得答案．

解答： 解：由x∈（0，π）时，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πlnx，
∴f′（x）=-f′（

π

2

）cosx-

π

x

，
∴f′（

π

2

）=-2，
∴f（x）=2sinx-πlnx，
∴当x∈（0，π）时，f′（x）＜0．
则f（x）在x∈（0，π）上为减函数．
又函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则函数y=f（x）为偶函数，
∵log₃

1

9

=-2＜0，0＜log_π3＜1，3^0.3＞1，
∴f（log_π3）＞f（3^0.3）＞f（log₃

1

9

），
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．

点评：本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，考查了函数的奇偶性的性质，解答的关键在于判断函数在（0，π）上的单调性，是中档题