Question

规定C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且C

0 x

=1这是组合数C

m n

（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）C

5 -15

的值；
（2）组合数的两个性质：C

m n

=C

n-m n

；C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

是否都能推广到C

m x

（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由；
（3）已知组合数C

m n

是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C

m x

∈Z．

Answer 1

考点：组合及组合数公式,进行简单的合情推理

专题：排列组合

分析：（1）根据所给的组合数公式，写出C_-15⁵的值，这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数，在本题的新定义下，按照一般组合数的公式来用．
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形，举出两个反例，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，可以利用组合数的公式来证明，证明的方法同没有推广之情况相同．
（3）分x≥m，和x＜0，根据组合数公式计算即可．

解答： 解：（1）：（1）C_-15⁵=

-15×(-16)×(-17)×(-18)×(-19)

5!

=-11628；
（2）性质：C_n^m=C_n^n-m不能推广到C_x^m的情形不能推广，例如x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 -1 2

无意义；
性质：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推广到C_x^m的情形，它的推广形式为

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m∈N*，
证明如下：
当m=1时，有

C

1 x

+

C

10 x

=x+1

=C

1 x+1

；
当m≥2时，有

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

m!

=

x(x-1)(x-m+2)

(m-1)!

（

x-m+1

m

+1）=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m!

=

C

m x+1

（3）当x≥m时，组合数

C

m x

∈Z；
当x＜m时，-x+m-1＞0，
∴

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m•

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^m

C

m -x+m-1

∈Z．

点评：本题考查组合数公式，不是在一般的情况下应用组合数公式，而是对于组合数公式推广使用，是一个中档题，题目解起来容易出错．这种题目对于学生帮助不大．