Question

已知函数f（x）=-x（x-c）²在x=2处有极小值，则f（x）的单调递减区间是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求出f′（x）=（x-c）（3x-c），令f′（x）=0，解得：x=c，x=

c

3

，再分别讨论①c＞0时②c＜0时的情况，从而得出答案．

解答： 解：∵f′（x）=（x-c）（3x-c），
令f′（x）=0，解得：x=c，x=

c

3

，
①c＞0时，f（x）在（-∞，

c

3

），（c，+∞）递增，在（

c

3

，c）递减，
∴f（x）_极小值=f（c）=f（2），
∴c=2，∴f（x）的单调递减区间是（

2

3

，2），
②c＜0时，f（x）在（-∞，c），（

c

3

，+∞）递增，在（c，

c

3

）递减，
∴f（x）_极小值=f（

c

3

）=f（2），
∴c=6，与c＜0矛盾，
综上：f（x）的单调递减区间是（

2

3

，2），
故答案为：（

2

3

，2）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．