题目内容
已知F1，F2分别为双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若
存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| |PF2|2 |
| |PF1|-|OA| |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：利用双曲线的定义，结合基本不等式，
存在最小值为12a，即可求出双曲线离心率e的取值范围．
| |PF2|2 |
| |PF1|-|OA| |
解答：
解：∵F1，F2分别为双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
∴|PF1|-|PF2|=2a，
代入
=|PF1|-a+
+6a≥6a+6a=12a，
当且仅当|PF1|=4a时取等号．
∵P为双曲线左支上的任意一点，
∴|PF1|≥c-a，
∴4a≥c-a，
∴e≤5，
∵P是双曲线左顶点时，|PF1|=c-a，同时
存在最小值为12a，
∴|PF1|-a＞0，
∴c-a＞a，
∴e＞2，
∴2＜e≤5．
故答案为：2＜e≤5．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴|PF1|-|PF2|=2a，
代入
| |PF2|2 |
| |PF1|-|OA| |
| 9a2 |
| |PF1|-a |
当且仅当|PF1|=4a时取等号．
∵P为双曲线左支上的任意一点，
∴|PF1|≥c-a，
∴4a≥c-a，
∴e≤5，
∵P是双曲线左顶点时，|PF1|=c-a，同时
| |PF2|2 |
| |PF1|-|OA| |
∴|PF1|-a＞0，
∴c-a＞a，
∴e＞2，
∴2＜e≤5．
故答案为：2＜e≤5．
点评：本题考查双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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