Question

已知

a

=（2+sinx，1），

b

=（2，-1），

c

=（sinx-3，1），

d

=（1，k），（x∈R，k∈R）．
（Ⅰ）若

a

与（

b

+

c

）共线，求sinx的值．
（Ⅱ）若k的值使（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），试求k的取值范围．
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，将函数y=

a

•

b

的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的

1

2

后，再向左平移

π

8

个单位得到函数f（x）的图象，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）根据向量的坐标利用向量的共线的充要条件求出结果．
（Ⅱ）根据向量的坐标，进一步求出向量垂直的充要条件，进一步确定k的结果．
（Ⅲ）根据向量的数量积，再根据正弦型函数的图象变换求出解析式，进一步利用函数的定义域，求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)
则：

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于

a

和

b

+

c

共线，
则：sinx-1=0
解得：sinx=1
（Ⅱ）由于

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)，

d

=(1，k)
则：

a

+

d

=(3+sinx，k+1)，

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于(

a

+

d

)⊥(

b

+

c)

则：（3+sinx）（sinx-1）=0
所以：求得的结果与k值无关，k为任意实数．
（Ⅲ）y=

a

•

b

=2（2+sinx）-1=2sinx+3
图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的

1

2

后，再向左平移

π

8

个单位得到函数f（x）的图象，
f（x）=2sin（2x+

π

4

）+3
由于x∈[0，

π

2

]
则：-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
所以：3-

2

≤f(x)≤5
则函数的值域为：f（x）∈[3-

2

，5]

点评：本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，向量垂直的充要条件的应用．利用正弦型函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．