Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）已知CG=

1

4

CA，求证：FG∥平面PBD；
（3）已知PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证：BD⊥FG，只需证明BD⊥平面PAC，即可；
（2）得出PE∥FG，根据判定定理求解证明，
（3）建立坐标系求解平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），运用向量的数量积求解判断即可．

解答： 证明：（1）∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG，
证明：（2）连接PE，
∵BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点，
∴E为AC，BD中点，
∵CG=

1

4

CA，
∴G为EC中点，
∴PE∥FG，
∵FG?平面PBD，PE?平面PBD，
∴FG∥平面PBD；


解：（3）以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立坐标系，
正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB，
设PA=AB=1，
A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0）
 

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，1），

PC

=（1，1-1）
设平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），
∴

n • BD =0 n • BP =0

，

-x+y=0 -x+z=0

得出x=y=z=1，
∴

n

=（1，1，1），cos＜

n

•

PC

＞=

1

3 × 3

=

1

3

，
∴PC与平面PBD所成角与夹角的关系得出：
PC与平面PBD所成角的正弦值

1

3

点评：本题考查了空间几何体中的线面关系，线线关系，夹角问题，属于中档题，难度不大．