Question

如图所示，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，点D（

2

，

2

2

）为椭圆上一点，且OD∥AB．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）D′与D关于x轴对称，P为线段OD′延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点，直线PB交椭圆于另外一点F，
①求直线PA与PB的斜率之积；
②直线AB与EF是否平行？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）依题意，有A（-a，0），B（0，b），a=2b，椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，把点D（

2

，

2

2

）代入，能求出椭圆方程．
（2）①由已知得D′（

2

，-

2

2

），则OD′所在直线方程为y=-

1

2

x，设P（2m，-m），且有A（-2，0），B（0，1），由此能求出直线PA与PB的斜率之积．
②设k_AP=k，则AP所在直线方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出AB∥EF．

解答： 解：（1）依题意，有A（-a，0），B（　　），b），
∵k_OD=

1

2

，∴

b

a

=

1

2

，∴a=2b，
椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
∵点D（

2

，

2

2

）在椭圆上，∴

2

4b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①由已知得D′（

2

，-

2

2

），则OD′所在直线方程为y=-

1

2

x，
设P（2m，-m），且有A（-2，0），B（0，1），
k_AP•k_BP=

-m-1

2m

•

-m

2m+2

=

1

4

．
②设k_AP=k，则AP所在直线方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，并整理，得：
（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
则由xAxE=

16k2-4

1+4k2

，∴x_E=

2-8k2

1+4k2

，y_E=k（x_E+2）=

4k

1+4k2

，
E（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
由①知k_BP=

1

4k

，
直线BP所在直线方程为y=

1

4k

x+1，
同上，得F(-

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

)，
∴k_EF=

4k2-1 1+4k2 - 4k 1+4k2

- 8k 1+4k2 - 2-8k2 1+4k2

=

1

2

=kAB，
∴AB∥EF．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线PA与PB的斜率之积的求法，考查直线AB与EF是否平行的判断，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．