Question

16．已知a，b，c∈R⁺，满足abc（a+b+c）=2，则（a+c）（b+c）的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由（a+c）（b+c）=ab+ac+bc+c²=ab+c（a+b+c）=ab+$\frac{2}{ab}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵abc（a+b+c）=2，
∴$\frac{2}{abc}$=a+b+c，
∴（a+c）（b+c）=ab+ac+bc+c²=ab+c（a+b+c）=ab+$\frac{2}{ab}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当ab=$\sqrt{2}$时取等号，
∴（a+c）（b+c）的最小值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．