Question

11．已知z∈C，若A=$\frac{{z}^{2}-{z}^{-2}}{2i}$，B=z•$\overline{z}$，则A和B之间的大小关系是设z=a+bi，当${a}^{2}＜\frac{1}{2}$时，A＞B；当a²=$\frac{1}{2}$时，A=B；当${a}^{2}＞\frac{1}{2}$时，A＜B．

Answer 1

分析 设z=a+bi，则z²=a²-b²+2abi，由A=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}i$+ab+$\frac{4ab+2（{a}^{2}-{b}^{2}）i}{16{a}^{2}{b}^{2}+4（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}$，由A和B之间能比较大小关系，得A的虚部为0，由此能求出结果．

解答 解：∵z∈C，A=$\frac{{z}^{2}-{z}^{-2}}{2i}$，B=z•$\overline{z}$，
∴设z=a+bi，则z²=a²-b²+2abi，
∴A=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}+2abi}{2i}$-$\frac{1}{2i（{a}^{2}-{b}^{2}+2abi）}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}i$+ab+$\frac{4ab+2（{a}^{2}-{b}^{2}）i}{16{a}^{2}{b}^{2}+4（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}$，
∵B=z•$\overline{z}$=（a+bi）（a-bi）=a²+b²，A和B之间能比较大小关系，
∴$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}+\frac{2（{a}^{2}-{b}^{2}）}{16{a}^{2}{b}^{2}+4（{{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}_{\;}}$=0，
若a≠b，则$\frac{1}{2}+\frac{1}{8{a}^{2}{b}^{2}+2（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}$=0不成立，∴a=b，
∴A=ab+$\frac{1}{4ab}$=${a}^{2}+\frac{1}{4{a}^{2}}$，B=2a²，
∴${a}^{2}＜\frac{1}{2}$时，A＞B；a²=$\frac{1}{2}$时，A=B；${a}^{2}＞\frac{1}{2}$时，A＜B．
故答案为：设z=a+bi，当${a}^{2}＜\frac{1}{2}$时，A＞B；当a²=$\frac{1}{2}$时，A=B；当${a}^{2}＞\frac{1}{2}$时，A＜B．

点评 本题考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意复数性质及运算法则的合理运用．