Question

8．设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），则数列{S_n}的前9项和为-$\frac{341}{1024}$．

Answer 1

分析 由S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求出a₁=-$\frac{1}{4}$．a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n为正奇数），a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）．由此能求出数列{S_n}的前9项和．

解答 解：由S_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），当n=1时，有a₁=（-1）¹a₁-$\frac{1}{2}$，
解得a₁=-$\frac{1}{4}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
即a_n=（-1）ⁿa_n+（-1）^n-1a_n-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
若n为偶数，则a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，（n≥2）．
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n为正奇数）；
若n为奇数，则a_n-1=-2a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$=（-2）•（-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）．
∴-a₁=-（-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$．
则-a₁+a₂=2×$\frac{1}{{2}^{2}}$．
-a₃=-（-$\frac{1}{{2}^{4}}$）=$\frac{1}{{2}^{4}}$，a₄=$\frac{1}{{2}^{4}}$．
则-a₃+a₄=2×$\frac{1}{{2}^{4}}$．
…
-a₉+a₁₀=2×$\frac{1}{{2}^{10}}$．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉
=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a₉+a₁₀）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=2（$\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{5}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=-$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）$
=-$\frac{341}{1024}$．
故答案为：-$\frac{341}{1024}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式及性质的合理运用．