Question

过点T（-1，0）作直线l与曲线N：y²=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（x₀，0）使得△ABE是等边三角形，若存在，求出x₀；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出直线方程，和抛物线方程联立，利用根与系数关系求出A，B的中点坐标，得到AB的垂直平分线方程，求得E点的横坐标，由E到AB的距离相等列式求得k值，进一步得到x₀．

解答： 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0．
设直线l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) y2=4x

，消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0  ①，
由直线和抛物线交于两点，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞0，即0＜k²＜

1

4

  ②，
由韦达定理，得：x1+x2=

2k2-1

k2

，x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=

1

k

，
则线段AB的中点为（-

2k2-1

2k2

，

1

2k

）．
线段的垂直平分线方程为：y-

1

2k

=-

1

k

（x-

1-2k2

2k2

），
令y=0，得x0=

1

2k2

-

1

2

，则E（

1

2k2

-

1

2

，0），
∵△ABE为正三角形，
∴E（

1

2k2

-

1

2

，0）到直线AB的距离d为

3

2

|AB|．
又∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1-4k2

k2

1+k2

，d=

1+k2

2|k|

，
∴

3

2

•

1-4k2

k2

1+k2

=

1+k2

2|k|

，
解得：k=±

39

13

满足②式．
此时x0=

5

3

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了“设而不求”的解题思想方法，考查了学生的计算能力，是压轴题．