Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PA中点F，连接EF、FD，可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，证明四边形EFDC是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明；
（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD内的射影，∠PBH是PB与平面ABCD所成角，从而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，构造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．

解答： （Ⅰ）证明：如图，取PA中点F，连结EF、FD，
∵E是BP的中点，∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
又∵DC∥AB且DC=

1

2

AB，
∴EF∥DC且EF=DC，∴四边形EFDC是平行四边形，
故得EC∥FD …（2分）
又∵EC?平面PAD，FD?平面PAD，
∴EC∥平面ADE …（4分）
（Ⅱ）解：取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，
所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角…（6分）
∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=

1

2

AB
设AB=2a，则BD=

2

a，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴AD=

2

a，PH=

PD2-DH2

=

2

2

a，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴HB=

DH2+DB2

=

10

2

a，
∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=

PH

HB

=

5

5

…（10分）
（Ⅲ）解：在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，
则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，
由AB=2a…（11分）
∴HA=

2

2

a，
又∠HAB=45°∴HG=

1

2

a，PG=

3

2

a
在Rt△PHG中，sin∠PGH=

PH

PG

=

6

3

，
∴二面角P-AB-D的正弦值为

6

3

…（15分）

点评：本题考查空间直线与平面位置关系的判断，空间角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．