Question

设函数f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ（0＜φ＜π）在x=

π

6

时取得最大值．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式化简，再由在x=

π

6

时取得最大值，结合φ得范围求得φ，则函数解析式可求；
（2）设出函数g（x）的图象上的点的坐标，由对称性求得函数g（x）的解析式，再由复合函数的单调性求得函数g（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）f（x）=2sinφcos²x+cosφsin2x-sinφ
=sinφ（1+cos2x）+cosφsin2x-sinφ
=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）．
∵x=

π

6

时f（x）求得最大值，
∴2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，即φ=2kπ+

π

6

．
又因0＜φ＜π，所以=

π

6

．
于是函数f（x）的解析式为f(x)=sin(2x+

π

6

)，其最小正周期为π；
（2）设（x，y）是函数g（x）图象上任一点，
则其关于直线x=

π

12

的对称点为(

π

6

-x，y)，该点在函数f（x）的图象上，
∴y=sin[2(

π

6

-x)+

π

6

]=sin(

π

2

-2x)=cos2x，
于是g（x）=cos2x．
由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-

π

2

，kπ](k∈Z)．

点评：本题考查三角函数的图象及图象变换，考查了三角函数的倍角公式及两角和的正弦，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．