Question

已知函数g（x）=

x

lnx

，f（x）=x（2-a）

1

g(x)

+2ax+

1

x

（a＜0）．
（Ⅰ）求函数g（x）在（e，g（e））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）对于任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-21n3＞|f（x₁）-f（x₂）|，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：第（Ⅰ）问利用导数求切线的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；第（Ⅱ）问求单调区间要结合导数的形式，按参数a进行分类讨论；第（Ⅲ）问要把恒成立问题转化为求最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）函数g′（x）=

lnx-x• 1 x

(lnx)2

=

lnx-1

(lnx)2

，…1分
所以g′（e）=0，故切线的斜率为0，…2分
所求切线方程为y=g（e）=e…3分
（Ⅱ）f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

(ax+1)(2x-1)

x2

，…4分
①当a=-2时，f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，…5分
②当-2＜a＜0时，x∈（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞），f′（x）＜0，x∈（

1

2

，-

1

a

），f′（x）＞0，
f（x）在（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞）是减函数，在（

1

2

，-

1

a

）为增函数…7分
③当a＜-2时，f（x）在（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）是减函数，在（-

1

a

，

1

2

）为增函数…9分
（Ⅲ）a∈（-3，-2），由（Ⅱ）可知f（x）在x∈[1，3]是减函数，…10分
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=

2

3

-4a+(a-2)ln3，…11分
根据任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-21n3＞|f（x₁）-f（x₂）|，
故只需（m+ln3）a-2ln3＞

2

3

-4a+(a-2)ln3对任意-3＜a＜-2恒成立…12分
即m＜-4+

2

3a

 任意-3＜a＜-2恒成立．
因为-

13

3

＜-4+

2

3a

＜-

38

9

，…13分
故m≤-

13

3

．

点评：本题综合性较强，考查了导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性，关键是把握好分类的标准；恒成立问题的解决一般要转化成函数的最值问题．