Question

设函数f(x)=

x

ex

(e=2.71828…是自然对数的底数)．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间，从而可得函数的最大值；
（2）由?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立，可知?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c恒成立，构造函数g(x)=2|lnx-ln2|-f(x)=2|lnx-ln2|-

x

ex

，分类讨论，确定函数的单调性，求最值，即可求实数c的取值范围．

解答： 解：（1）f′(x)=

1-x

ex

由f'（x）=0，解得x=1
当x＜1，时f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1，时f'（x）＜0，f（x）单调递减．
所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），单调递减区间是（1，+∞），其最大值为f(1)=

1

e

（2）由?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立
可知?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c恒成立
令g(x)=2|lnx-ln2|-f(x)=2|lnx-ln2|-

x

ex

①当x＞2时g(x)=2(lnx-ln2)-

x

ex

所以g′(x)=

2

x

-

1-x

ex

=

2ex+x(x-1)

xex

＞0
因此g（x）在（2，+∞）上单调递增
②当0＜x＜2时g(x)=2(ln2-lnx)-

x

ex

所以g′(x)=-

2

x

-

1-x

ex

=-

2ex+x(1-x)

xex

因为0＜x＜2，所以2ex＞2，x(1-x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

∈(-2，

1

4

)
所以2e^x+x（1-x）＞0，
所以g′（x）＜0，
因此g（x）在（0，2）上单调递减
综上①②可知g(x)在x=2时取得最小值g(2)=-

2

e2

因为?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c即g（x）≥c恒成立
所以c≤-

2

e2

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确求导，求最值是关键．