Question

如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  1

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：不等式的解法及应用,空间位置关系与距离

分析：几何体是圆锥，且圆锥的母线长为1，设底面半径为R，构造以R为自变量的函数，并利用基本不等式求函数的最值，判断取到“=”的条件可得答案．

解答： 解：由三视图知：几何体是圆锥，且圆锥的母线长为1，
设底面半径为R，则圆锥的体积V=

1

3

π×R²×

1-R2

=

1

3

π×

2

2

×

R2R2(2-2R2)

≤

2

6

π×

8 27

=

2 3

27

π，
当R²=2-2R²时，即R=

6

3

，取“=”，
故选：C．

点评：本题结合三视图考查了圆锥的体积最大值问题，考查了学生的运算能力，根据几何体的结构特征构造以R为变量的函数，并利用基本不等式求函数的最值是解答本题的关键．