Question

设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤

π

2

）满足f（x+2φ）=f（2φ-x），且对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最小值，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=2φ对称，求得φ=

π

2

．再根据函数的周期为2π=

2π

ω

，求得ω=1，可得f（x）=-sinx．本题即求函数y=sinx的增区间，再根据正弦函数的单调性的出结论．

解答： 解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）满足f（x+2φ）=f（2φ-x），
故函数f（x）的图象关于直线x=2φ对称，
故2φ=kπ，k∈z．
再结合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

2

．
又对任意a∈R，在区间（a，a+2π]上f（x）有且只有一个最小值，
故函数的周期为2π=

2π

ω

，∴ω=1，
故f（x）=cos（x+

π

2

）=-sinx．
故函数f（x）的减区间就是函数y=sinx的增区间，为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，诱导公式，余弦函数的图象的对称性和周期性，正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．