Question

下列说法中：
①函数y=lg（x²-ax-a）的值域为R，则a∈（-4，0）；
②O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)且λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定经过△ABC的重心；
③△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；
④若函数f（x）=x+log₂（x+

x2+1

），则“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件．其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,解三角形,平面向量及应用

分析：①，依题意知，y=x²-ax-a与x轴有公共点，由△=（-a）²-4×1×（-a）≥0，可判断①；
②，设BC中点为D，易知A、P、D三点共线，从而可判断②；
③，利用正弦定理与二倍角的正弦可得sin2A=sin2B，分析得到A=B或A+B=

π

2

，从而可判断③；
④可判断函数f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）为R上的单调递增的奇函数，利用充分必要条件的概念可判断④．

解答： 解：对于①，函数y=lg（x²-ax-a）的值域为R，则y=x²-ax-a与x轴有公共点，故△=（-a）²-4×1×（-a）≥0，解得a∈[0，4]，故①错误；
对于②，设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线且

AB

+

AC

=2

AD

，
∵

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，
∴

OP

-

OA

=λ(

AB

+

AC

)，即

AP

=λ(

AB

+

AC

)=2λ

AD

，
∴AP∥AD，
∴A、P、D三点共线
所以点P一定过△ABC的重心，②正确．
对于③，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，则sin2A=sin2B，
所以，2A=2B或2A=π-2B，即A=B或A+B=

π

2

，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形，③错误；
对于④，因为f（x）=x+log₂（x+

x2+1

），其定义域为R，
所以f（-x）+f（x）=-x+log₂（-x+

x2+1

）+x+log₂（x+

x2+1

）=log₂[（x+

x2+1

）（-x+

x2+1

）]=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是奇函数，
由于函数y=x+

x2+1

在区间[0，+∞）上是增函数，所以f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）在区间[0，+∞）上是增函数，而f（x）=x+log₂（x+

x2+1

）是R上的奇函数，
故在R上单调递增；
所以，m+n≥0，即m≥-n时，f（m）≥f（-n）=-f（n），所以f（m）+f（n）≥0，即充分性成立；
反之，若f（m）+f（n）≥0，则f（m）≥-f（n）=f（-n），所以m≥-n，即m+n≥0，必要性成立；
所以“m+n≥0”是“f（m）+f（n）≥0”的充要条件，④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查对数函数的值域，平面向量共线定理的应用，考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查充分必要条件的判断，突出考查综合运用知识、解决问题的能力及钻研精神，属于难题．