题目内容
已知椭圆
+y2=1，F1、F2是其左、右两焦点，直线l：y=x+3，试在直线l上找一点P，使得∠F1PF2最大，并求出P点的坐标．
| x2 |
| 4 |
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,数形结合,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l相切，此时圆心在y轴上，设坐标为C（0，t），则由直线和圆相切得到d=r，求得圆心坐标，再由切线的性质求得CP的方程，联立直线l方程，即可得到交点P．
解答：
解：椭圆
+y2=1的左、右焦点分别为
F1（-
，0）、与F2（
，0）．
如图，根据平面几何知识知，
当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l相切，
此时圆心在y轴上，设坐标为C（0，t），
则由直线和圆相切得到d=r，
即有
=
，解得t=-3±2
，
通过图象观察取t=-3+2
，即有C（0，2
-3），
由CP⊥l，得直线CP：y=-x+2
-3，
联立直线l：y=x+3，解得交点P（
-3，
）．
故当P点的坐标为（
-3，
）时，使得∠F1PF2最大．
解：椭圆| x2 |
| 4 |
F1（-
| 3 |
| 3 |
如图，根据平面几何知识知，
当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l相切，
此时圆心在y轴上，设坐标为C（0，t），
则由直线和圆相切得到d=r，
即有
| |0+3-t| | ||
|
| 3+t2 |
| 3 |
通过图象观察取t=-3+2
| 3 |
| 3 |
由CP⊥l，得直线CP：y=-x+2
| 3 |
联立直线l：y=x+3，解得交点P（
| 3 |
| 3 |
故当P点的坐标为（
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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