Question

解关于x的不等式：|x+2|-|2x-5|＞a+1．

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设f（x）=|x+2|-|2x-5|=

7-x，x≥ 5 2 3x-3，-2＜x＜ 5 2 x-7，x≤-2

，显然f（x）的最大值为f（

5

2

）=

9

2

，且f（-2）=-9．再分当a+1≥

9

2

、当-9＜a+1＜

9

2

 时、当a+1≤-9时三种情况，分别根据f（x）的图象在直线y=a+1的上方，求出x的范围．

解答： 解：设f（x）=|x+2|-|2x-5|=

7-x，x≥ 5 2 3x-3，-2＜x＜ 5 2 x-7，x≤-2

，
显然f（x）的最大值为f（

5

2

）=

9

2

，且f（-2）=-9．
由题意可得，函数f（x）的图象应该在直线y=a+1的上方．
当a+1≥

9

2

，即a≥

7

2

时，不等式无解；
当-9＜a+1＜

9

2

 时，即-10＜a＜

7

2

时，由3x-3=a+1，求得x=

a+4

3

；由7-x=a+1，求得x=6-a，
故不等式解集为（

a+4

3

，6-a）；
当a+1≤-9时，即a≤-10时，由x-7=a+1，求得x=8+a；由7-x=a+1，求得x=6-a，
故不等式解集为[a+8，6-a]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合、分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．