Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：g(a)≥

1

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（

1

a

），即可求得g（a）的表达式．
（2）由（1）的结论，利用导数判断函数g（a）的单调性，得出最小值即得结论成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，
又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3，
当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，
当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1，
∴即

1

3

≤a≤

1

2

，M（a）=

9a-5，   1 2 ＜a≤1 a-1，    1 3 ≤a≤ 1 2

∵

1

3

≤a≤1
∴1≤

1

a

≤3
∴N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

，
当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

．
综上所述：g（a）=

9a-6+ 1 a   ，    1 2 ＜a≤1 a-2+ 1 a   ，    1 3 ≤a≤ 1 2

．
（2）由（1）得当

1

2

＜a≤1时，g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
∴g′（a）=9-

1

a2

＞0，故g（a）在（

1

2

，1]是增函数；
当

1

3

≤a≤

1

2

时，g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

，
g′（a）=1-

1

a2

＜0，故g（a）在[

1

3

，

1

2

]是减函数；
∴当a=

1

2

时，g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

，
∴g(a)≥

1

2

．

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性，考查二次函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．