Question

（1）证明两角差的余弦公式C_（α-β）：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）若cosα=-

3

5

，α∈（0，π），求cos（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）如图，当α、β为锐角时，作出角α、β，其终边分别交单位圆于A、B两点，由于

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos（α-β）=cos（α-β），又

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ，可得要证的等式成立．由诱导公式可以得到α、β为任意角时上式也成立．
（Ⅱ）根据α的范围求得cosα和sinα的值，再根据cos（α-

π

4

）=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

．计算求得结果

解答： 解：（Ⅰ）如图，在直角坐标系xoy中作单位圆O，当α、β为锐角时，
作出角α、β，其终边分别交单位圆于A、B两点，
则A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），
∵

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos（α-β）=cos（α-β），
再根据两个向量的数量积公式可得

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
由诱导公式可以得到α、β为任意角时上式也成立．
（Ⅱ）∵α∈（0，π），cosα=-

3

5

，∴sinα=

4

5

．
∴cos（α-

π

4

）=cosαcos

π

4

+sinαsin

π

4

=-

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

2

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．