Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（A＞0，ω＞0）的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为

π

3

．
（Ⅰ）若f（

2

3

α+

π

12

）=

6

5

，0＜α＜π，求sinα；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）-k是在[0，

11

36

π]上有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质可求得A=2，T=

2π

3

，解得ω=3，于是可得函数y=f（x）的解析式，从而可由f（

2

3

α+

π

12

）=

6

5

，0＜α＜π，求得sinα；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（3x-

π

4

），利用正弦函数的单调性与最值可求得x∈[0，

11

36

π]时该函数的值域，利用y=g（x）与y=k在[0，

11

36

π]上有交点，即可求得实数k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，A=2，T=

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=3，∴f（x）=2sin（3x+

π

4

）…2分
又f（

2

3

α+

π

12

）=2sin[3（

2α

3

+

π

12

）+

π

4

]=2sin（2α+

π

2

）=2cos2α=

6

5

，
∴cos2α=

3

5

…4分
∴sin²α=

1-cos2α

2

=

1

5

，
又0＜α＜π，∴sinα=

5

5

…6分
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位得到y=g（x）=2sin[3（x-

π

6

）+

π

4

]
=2sin（3x-

π

4

）的图象，…8分
则函数y=g（x）-k=2sin（3x-

π

4

）-k，
∵x∈[0，

11

36

π]，∴3x-

π

4

∈[-

π

4

，

2π

3

]，
∴-

2

≤2sin（3x-

π

4

）≤2…11分
∵函数y=g（x）-k在[0，

11

36

π]上有零点，
∴y=g（x）与y=k在[0，

11

36

π]上有交点，
∴实数k的取值范围是[-

2

，2]…12分

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质与图象变换，考查正弦函数的单调性与最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．