Question

9．一个多面体的直观图及三视图如图1，2所示，其中 M，N 分别是 AF、BC 的中点．
（1）求证：MN∥平面 CDEF；
（2）求多面体的体积及表面积．

Answer 1

分析 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．
（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论；
（2）利用所给数据即可求多面体的体积及表面积．

解答 （1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=$4\sqrt{2}$，∠CBF=90°
取BF的中点G，连接MG、NG，
由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．
（2）S=（4+4+4$\sqrt{2}$）×4+2×$\frac{1}{2}×4×4$=48+16$\sqrt{2}$，
V=$\frac{1}{2}×4×4×4$=32．

点评 本题考查的知识点是简单空间图形有三视图、棱锥的体积及直线与平面平行的判定．根据三视图判断几何体的形状及线面之间的位置关系及长度（面积）大小是解答的关键．